古韵新知：中国勾股定理再解 与现代考古发现异曲同工

百家说史：古人对勾股定理的探索与智慧

西周初的智慧火花

在西周初期，周公与商高（一称商族人中的高士）展开了一场关于天文测量技巧的对话。商高以深奥的话语揭示了测量之道的真谛：“圆者出于方，方者源于矩，矩者则以乘除运算为基。”这其中的“乘除计算”，便是以勾股定理为基础。

在那个宇宙观尚处于天圆地方的时代，古人以“影差一寸，地差千里”的量天尺为依据，利用“勾三股四弦五”的法则，测量太阳的高度，甚至宇宙的长度。尽管这些结论在今天看来并不准确，但这却反映了古人的智慧之光。对此，有兴趣的读者不妨参阅笔者先前撰写的文章《周朝“宇宙模型”：如何算出日高八万里，宇宙直径八十一万里？》。

勾股定理的论证之谜

关于勾股定理，许多人或许认为商高或古代中国学者并未进行过正式的论证，而只是单纯地知晓“勾三股四弦五”这一法则。但事实并非如此。《周髀算经》中已有“勾股各自乘，并而开方除之”等论述，表明古代中国学者已经对勾股定理进行了论证。上个世纪，台湾学者李国伟、陈良佐等人也发表了相关论文，证明了商高已经验证了勾股定理。

然而，本文的重点并非商高是否论证了勾股定理，而是探究中国人为何能够发现“勾股定理”，或是如何从中提炼出“勾三股四弦五”这一规律。这一过程充满了考古的惊喜，也揭示了西方历史的奇妙之处。

天文观测与勾股定理的诞生

任何伟大的发明，在诞生之前往往都有着漫长的铺垫，勾股定理也不例外。与古埃及和苏美尔不同，中国地理气候四季分明，给农业生产带来了诸多不便，尤其是播种期的短暂，一旦错过便可能导致饥荒。因此，掌握农时并非意愿问题，而是生存之需。

在天文观测的过程中，古人发现天象与季节之间存在着紧密的联系，例如北斗星的斗柄转向与季节变化、大火星的（又称龙星）移动与季节变化等。于是，通过观测星象来确定农时，这就是我们熟知的“观象授时”，从而诞生了天文学。

立表测影与勾股定理的发现

但星象的观测往往只在夜间进行，如何在白天进行“观象”呢？对此，古人发明了“立表测影”的方法，即竖立一根“表”，与之垂直的圭尺放置于地面，观测日影的长短。

在《周髀算经》中，“表”被称为“股”，即腿骨，表示起初是以人为尺度，即以人为立表测影的“表”。《史记》记载大禹就曾“身为度”。立表测影的“表”，其来源应该是从“股”到“髀”再到“表”，不同时代有不同的称呼。

正午时分，日影照射在“表”上，便在圭尺上勾画出日影，不同季节日影长度不同，古人据此判断季节。同时，这也构成了一个直角三角形，垂直的边称为“股”，与“股”垂直的日影则称为“勾”，这就是勾股定理中的“勾股”一词的由来。

考古发现与勾股定理的传承

从立表测影到勾三股四弦五，虽然缺乏直接的考古发现，但考古发现表明，中国古人很早就知道了直角三角形，并在漫长的天文探索实践中，发现了勾三股四弦五的规律。

首先，考古发现，距今9000余年的贾湖遗址中出土了夹炭红陶三足盆形鼎，此后中国遗址中三足器等比比皆是，甚至有等腰三角形的考古发现，说明史前中国人对三角形已有一定认知。

其次，湖北随州叶家山墓地出土的青铜器上，三个顶点组成的三角形为等腰三角形。从史前大量三足器等来看，叶家山出现等腰三角形绝非偶然，背后折射的是古人对此已有一定探索。

再者，湖北秭归柳林溪遗址出土的陶圆盘上显示的是原始洛书，即九宫图的前身。立表测影除了测时之外，还能辨方正位，太阳东升西落，日影就指出东西方向，与之垂直的是南北。这说明当时已有立表测影，应该已经关注直角三角形。

最后，甘肃大地湾仰韶晚期出土的一组质量标准器，其中条形盘容积约为264.3立方厘米，铲形抄容积约为2650.7，箕形抄约为5288.4立方厘米，深腹罐容积约为26082.1。显然，大地湾先民必然已经掌握十进制，也掌握一定的几何与计算知识，否则很难造出如此质量标准器。

因此，至少在7000年前，中国古人在立表测影实践中，应该已经关注直角三角形。长期的天文观测确定农时的需求，以及在中国广大区域内的实践，最终使古人发现了“勾三股四弦五”这一符合认知逻辑的规律。商高生活在商末周初，距离柳林溪遗址有4000年，如此长时间的探索才得出“勾三股四弦五”无疑更显其真实性和可靠性。

毕达哥拉斯定理的神奇诞生

与中国勾股定理的由来截然不同，“毕达哥拉斯定理”的诞生过程堪称神奇。

西方历史记载，公元前六世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯证明了勾股定理，因此西方称之为毕达哥拉斯定理。毕达哥拉斯严谨而感性，既科学又文艺，西方叙事中的类似科学家层出不穷！

参考资料：《周髀算经》等。